Частные погрешности. Причины их возникновения и законы распределения  

Частные погрешности. Причины их возникновения и законы распределения

По причине возникновения частные погрешности можно разделить на несколько групп:

1) погрешности, вызванные несовершенством конструкции и технологии изготовления ;

2) погрешность градуировки (при индивидуальной градуировке) или шкаловая (при массовом производство);

3) методические погрешности;

4) погрешности, вызванные старением элементов;

5) погрешности, вызванные влиянием внешних факторов;

6) погрешности отсчета.

Частные погрешности преобразователей носят случайный

характер, т. е. величина их меняется случайным образом вне зависимости от значения измеряемой величины и условий работы. В большинстве случаев систематическую составляющую частной погрешности удается исключить путем корректировки в процессе изготовления измерительного устройства или перед его использованием. Исключение составляют такие аддитивные погрешности, как порог чувствительности, шумы, трение. Полностью исключить такого рода систематические погрешности на всем диапазоне измеряемой величины невозможно. На систе­матические погрешности, вызванные влиянием внешних факто­ров, могут быть внесены поправки, если изменение влияющего фактора может быть определено. Однако делается это, как пра­вило, только при высокоточных измерениях в лабораторных условиях. Во всех других случаях поправка на погрешность, вызванную изменением условий работы, не вводится либо пото­му, что нет возможности производить необходимые расчеты, либо потому, что нет возможности следить за изменением фак­тора, особенно при его быстрых изменениях. Тогда систематиче­скую погрешность переводят в разряд случайных и включают в полную погрешность прибора при нормировании его точности.

Случайные погрешности, наоборот, часто проявляют себя как систематические, вызывая нелинейность реальной характеристики прибора. Это погрешности, связанные чаще всего с технологическим разбросом значений размеров деталей, размеров, характеризующих их взаимное положение, с подгонкой мер под заданный номинал и т. д. Все технологические разбросы носят случайный характер и задаются обычно величиной среднего разброса, равной половине поля допуска. При установке же, например, конкретного резистора в схему он вызовет систематическую погрешность, связанную с отличием его действительного значения от номинального на вполне определенную величину. Конечно, в случае резистора ошибка может быть легко устранена изменением регулировочного (подгоночного) сопротивления. В других случаях это не всегда удается или удается не в полной мере. Например, не удается полностью устранить эксцентриситет между центром расточки полюсных наконечников магнитной системы и осью цилиндрического сер­дечника, являющийся случайной величиной (рис. 2.27,а).



Рис. 2.27. К влиянию эксцентриситета на характеристику преобразователя. (Пояснения в тексте).

Это приводит к тому, что расстояние между поверхностями сердеч­ника и наконечников будет определяться постоянной составляющей b и переменной, равной esin2πα/αH, где α — угловая координата; αн —диапазон изменения координаты α (рис. 2.27,б). Соответственно изменяется индукция на рабочем участке, опре­деляющая чувствительность Sx, в связи с чем реальная характеристика принимает вид кривой 2 на рис. 2.27, в. При аппроксимации кривой 2 по методу Чебышева получается кривая 3, сдвинутая относительно номинальной на величину θ на которую путем регулировки вводится поправка. Остается составляющая, связанная с отклонениями реальной кривой 2 от кривой 3 или 1, так как путем введения поправки а = — θ они совмещаются. Еe считают случайной погрешностью.

Такой подход к анализу частных погрешностей сложен, но соответствует действительным преобразованиям ошибок и пото­му является единственно правильным. Естественно, при этом встает вопрос — как выбрать закон распределения полученной частной погрешности, зависит ли он от закона распределения влияющего фактора или от характера изменения его в диапазоне преобразования.

Определение законов распределения, как уже указывалось, производится на основании статистических исследований. Однако поставить опыт так, чтобы погрешность измерения определилась только изучаемым фактором, очень трудно. Это связанно с значительным усложнением методики опыта и обработкой результатов измерений. Очень часто определить экспериментально закон распределения той или иной частной погрешностям вообще не представляется возможным. В этих случаях приходится принимать гипотетические законы распределения, основываясь на изучении фактора, вызывающего погрешность, характера его влияния на характеристику преобразователя (прибора). Следует заметить, что



один и тот же источники ошибки может вызвать в разных приборах (преобразователях) частные погрешности, имеющие различные законы распределения, т. е. преобразователи по-разному трансформируют воздействия.

Законы распределениям факторов (внешних и внутренних, т. е. технологических) могут быть различными. Законы распределениям технологических факторов и погрешностей, вызываемых ими, достаточно хорошо изучены. Законы же распределения таких факторов, как температура, колебания напряжения источников питания и т. п. определяются условиями работы аппаратуры и, естественно могут принимать различные формы. Поэтому законы распределения их могут быть определены только на основании опытных данных, полученных для конкретных условий работы. Если статистика достаточно велика, то обычным путем строится гистограмма распределения влияющего фактора. Затем подбирается простейший теоретический закон, наиболее хорошо совпадающий с полученной гистограммой. Для нормального закона все может быть проделано с достаточной строгостью, как это был изложено в разделе 1; установление законов распределения отличных от нормального, является приближенным. Так, распределение напряжения сети 220 В, 50 Гц в течение суток имеет форму, изображенную на рис. 2.28 сплошной линией.

Рис. 2.28. Статистический закон распреде­ления напряжения сети.

Ни один теоретический закон не подходит для его описания. Для приближенных оценок можно принять закон распределения напряжений нормальным, хотя проверка гипотезы правдоподобия и даст отрицательный результат.

Если внешние факторы изменяются по детерминированным законам, но погрешности, вызванные ими, учитываются как случайные (поправки не вводятся), то необходимо определить законы распределения последних для заданных детерминиро­ванных воздействий. Допустим, что температура за время работы преобразователя изменяется линейно (рис. 2.29, а) от Tmin до Ттах, причем при Т=Ттiп температурная погрешность ∆т равна нулю. Тогда при изменении температуры ∆т будет линей­но возрастать.

Рис. 2.29. Установление закона распределения температуры окру­жающейсреды.

Для перевода ∆т в разряд случайных погреш­ностей (хотя бы по знаку) при проектировании прибора делается коррекция на величину температурной погрешности, соответствующей изменению температуры на

Тогда при Т=Тср температурная погрешность будет равна нулю (рис. 2.29,б); при TTср∆т=δТ>0, причем максимальные абсолютные значения погрешностей не превысят значений, соответствующих изменению температуры на ∆т=|Tmах — Tср |. Вероятность появления разных по величине погрешностей, соответствующих разным значениям температуры, как линейной функции времени, одинакова, т. е. погрешности распределены по закону равномерной плотности. При случайном изменении температуры относительно Тср закон распределения температурной погрешности будет другим, нам не известным. Чтобы иметь возможность учесть температурную погрешность и в этом случае, задают предельные значения δТ, соответствующие Tmах и Tmin, а распределение температур в диапазоне изменения принимают также равновероятным. При этом предельное значение погрешности равно δТmах (рис. 2.29, в), среднее квадратическое отклонение

Аналогично рассуждая, можно найти приближенные законы распределения и для других частных погрешностей, вызванных внешними и внутренними факторами.

Распределим частные погрешности по принадлежности к за­конам распределения.

I. Нормальный закон распределения

1. Погрешность прибора, складывающаяся из большого числа частных составляющих при отсутствии доминирующей частной погрешности.

2. Погрешности, вызванные флюктуациями эмиссии электро­дов ламп, флюктуациями за счет дробового эффекта, тепловыми шумами. Это — мультипликативные погрешности, задаваемые обычно предельным отклонением (допуском) Среднее квадратическое отклонение в поле допуска при

Р = 0,997.

II. Закон равномерной плотности распределения

1. Погрешность подгонки сопротивлений под заданный номинал. Мультипликативная: задается допуском ;

2. Погрешность отсчета по шкале долей деления и на цифро­вых отметках. Аддитивная. Задается величиной =0,1 0,5 деления в зависимости от качества отсчетного устройства;

3. Порог чувствительности, погрешность уравновешивания. Аддитивные; задаются обычно минимальным значением напря­жения U (угла отклонения α), при котором следующий преоб­разователь начинает устойчиво работать (наблюдатель — уве­ренно отсчитывать). Максимальное из минимальных значений U или α принимается за (рис. 2.30). Внутри допуска

Рис. 2.30. Характеристика преобра­зователя с учетом порога чувствительности.

4. Погрешность дискретности, витковая погрешность потен­циометров. Аддитивная. Первая связана с квантованием измеряемой величины по уровню (см. рис. 2.31, а) и определяется величиной младшего кванта (единицей последнего разряда); вторая вызвана дискретным (а не линейным) изменением coпротивления при перемещении α щетки с витка на виток (см. рис 2.31, б). Если величину кванта и сопротивление витка обозначить через то погрешность дискретности и витковая не превзойдут величины ; в диапазоне погрешности разных значений равновероятны, среднее квадратическое отклонение

Рис. 2.31. Погрешности квантования (а) и витковая (б).

5. Погрешность от трения. Аддитивная. Характеризуется и задается величиной зоны застоя («недохода»), образующейся, если момент (сила) трения оказывается больше устанавливающего момента (силы). На рис. 2.32 прямая 1 соот­ветствует преобразователю без трения (идеальному); если при­нять, что трение случайно, но постоянно в диапазоне преобразования X, то характеристика реального преобразователя будет начинаться в одной из случайных точек зоны застоя 0'0" и пойдет параллельно прямой 1.

Рис. 2.31. Влияние зоны застоя на характеристику преобразователя.

Прямые 2 соответствуют предельной величине зоны застоя, т. е. Mтр,max. Внутри зоны застоя погрешности от трения распределены равновероятно; σ=δmax/√3. На самом деле погрешность от трения не остается постоянной в диапазоне изменения измеряемой величины и зависит от условий работы преобразователя, что приводит к очень приближенным оценкам погрешности от трения.

6. Погрешность люфта кинематической пары. Аддитивная.

Обычнопринимают, что вследствие люфта характеристика преобразователя принимает вид, изображенный на рис. 2.33, а кривой 2. Прямая 1 — характеристика преобразователя без люфта При этом вероятности появления погрешностей, равных +δmax и — δmах, будут составлять 0,5, а вероятности появления погрешностей, меньших |δmax |, равны нулю, т. е. закон распределении погрешностей от люфта может быть представлен так, как это показано ни рис. 2.33, б. Среднее квадратическое отклонение σ=±δmax. Закон равномерной плотности вырождается в двухмодальный, дискретный.

Рис. 2.33. Искажение характеристики при наличии люфта (а) и закон

распределения погрешностей от люфта (б).

7. Погрешность от гистерезиса (магнитного, упругого после­действия) аналогична погрешности люфта. Однако так как гистерезисные кривые нелинейны, то закон распределения погрешностей, оставаясь двухмодальным, принимает несколько иную форму (рис. 2.34).

Рис. 2.34. Влияние гистерезиса на характеристику преобразователя (а) и закон распределения погрешности от гистерезиса (б).

Аддитивная; предельное значение равно ± δmax (задается); среднее квадратическое отклонение может быть подсчитано как

σ= δmax, если принять двухмодальный дискретный закон (см. п. 6), или как σ=δmax/√3, если закон распределения принять равновероятным. Выбор закона зависит от степени нелинейности из-за гистерезиса реальной характе­ристики преобразователя.

8. Неисключенные остатки систематических погрешностей. Аддитивные. Описание их было сделано в 2.1.13.

9. Погрешности, вызываемые колебаниями температуры внутри заданных пределов, когда закон распределения значений температуры не задан (см. выше).

10. Погрешности, вызываемые колебаниями напряжения внутри заданных пределов, когда закон распределения значений напряжения не задан (аналогично п. 9).

11. Погрешности, вызываемые колебаниями любого фактора внутри заданных пределов, если закон распределения его неизвестен. В частности, неизвестным является закон распределения погрешности градуировки (индивидуальной), складывающейся из ряда составляющих: погрешности образцового прибора, погрешности вычерчивания шкалы (равномерности делений), погрешности установки. Эти составляющие имеют разные зако­ны распределения. Если принять, что доминирующей погреш­ностью является погрешность установки шкалы, имеющая рав­новероятный закон распределения, то и погрешность градуировки следует принять распределенной по тому же закону. Если допустить, что все составляющие погрешности имеют один вес и распределены по закону равномерной плотности, то закон распределения будет близким к нормальному.

III. Закон распределения Симпсона

Это композиция двух законов равномерной плотности с одинаковыми предельными значениями ошибок ± δmax

1. Погрешности измерения величин по двум отсчетам. Например,

длины угла, отрезка времени. Это погрешность выполнения аппроксимации графоаналитическим методом и др. Предельная погрешность равна±2δmax (рис. 2.35). Среднее квадратическое отклонение σ= 2δmax /√6

Рис. 2.35. Закон распределения Симпсона.

2. Погрешности измерения методом замещения, когда измеряемая величина определяется по двум отсчетам меры.

IV. Закон распределения арксинуса (арккосинуса)

Плотность распределения закона арксинуса определяется уравнением

(2.173)

Кривая, соответствующая этому закону, приведена на рис. 2.36. Если предельное значение погрешности ± δmax, то σ= δmax /√2

По закону арксинуса распределены все погрешности, вели­чина которых меняется по синусоидальному закону. По отношению к моменту измерения фаза таких погрешностей является случайной величи­ной. Поэтому случайной яв­ляется и величина погреш­ности в момент измерения. Вероятность того, что в мо­мент измерения погреш­ность равна нулю, мала, так как синусоидальная величи­на меняет знак достаточно быстро. Наоборот, в об­ласти максимума кривая имеет пологий участок, т. е. скорость изменения величи­ны погрешности здесь мала и вероятность появления больших погрешностей боль­ше.

Рис. 2.36. Закон распределения арк­синуса.

В качестве примера можно назвать аддитивную погрешность, вызванную синусоидальной наводной (помехой) u=Umsinωt. Принимая плотность распределения обратно пропорциональной скорости изменения напряжения, получим :

(2.174)

Из условия нормирования функции f(U)

находим А=1/π.Тогда

(2.175)

Дисперсия (второй центральный момент)

(2.176)

и

(2.177)

Методические погрешности

Методические погрешности — это тоже частные погрешности преобразователей, приборов. Особенность их заключается в том, что по своей природе это систематические погрешности. При проектировании приборов методические погрешности стараются свести к ничтожно малой величине, однако полностью исклю­чить их не удается. Встает вопрос об учете их величины при оценке точностных свойств приборов. Методические погрешности вызываются различными причинами. Здесь может встретиться несколько случаев.

1. Зависимость измеряемой величины от определяющих ее параметров не является абсолютно точной или преобразователь не реализует заданной зависимости измеряемой величины от определяющих параметров. Если х=φ(х1, х2,…, хп, а1, а2,…, ап) есть точная зависимость х от параметров, а х1=φ1(х1, х2,…, хп, а1, а2,…, ап) —реализуемая преобразова­телем, то методическая погрешность

(2.178)

Погрешность ∆М1 проявляется в отличии реальной характе­ристики преобразователя у1=φ1(х1, х2,…) от точной зависи­мости у=φ(х1, х2,…) и может быть учтена тем же способом, что и погрешность нелинейности преобразователя.

Следует напомнить, что погрешность от нелинейности, кото­рая рассматривалась в предыдущих параграфах, была вызвана искажениями характеристики преобразователя за счет несовер­шенства конструкции и технологии его изготовления, но сам преобразователь по принципу действия мог воспроизводить заданную зависимость точно. Здесь же имеется в виду, что преобразователь выбран так, что он принципиально не может воспроизводить точно заданной зависимости. Например, ваттметр, предназначенный для измерения мощности, теряемой в нагрузке, не реализует заданной зависимости, так как всегда измеряет и мощность, потребляемую одной из своих обмоток. Действительно, ваттметр, включенный в схему, изображенную на рис. 2.37, а, измеряет мощность

(2.179)

где Rw— сопротивление последовательной обмотки ваттметра; Pw, Рнаг — мощности, теряемые в последовательной обмотке ваттмет­ра и нагрузке; SP — коэф­фициент преобразования ваттметра.

Рис. 2.37. Неточность воспроизведения заданной зависимости преобразователем. (Пояснения о тексте).

Методическая погреш­ность (рис. 2.37, б)

(2.180)

растет с уменьшением Rнаг, т. е. с увеличением тока на­грузки.

2. Преобразователь точ­но реализует заданную за­висимость х от параметров, но сами параметры вводят­ся в преобразователь с по­грешностями, т. е. вместо х1, х2, ..., хп вводятся х11, х21, …, хп1. Тогда

(2.181)

Если разности , малы, то для определения погрешности φ(х11, х21, ..., xn1, a1, а2, ..., ап) можно разложить в ряд Тейлора по степеням ∆. Тогда, ограничиваясь первыми двумя членами разложения найдем

(2.182)

причем производные определяются при номинальных значениях определяющих параметров. Частные составляющие методиче­ской погрешности ∆М2 можно принять случайными величинами, имеющими нулевые математические ожидания, если ∆1, ∆2, …, ∆п, связаны с неточностью измерения соответственно параметров х1, х2, ..., хп. Но бывает и так, что математические ожидания ∆1, ∆2,.., ∆п не равны нулю и, наоборот, даже много больше случайных составляющих. Если т∆i>0,8σm (см. 2.1.14), то пренебрегать систематической погрешностью θi = т∆i нельзя. На нее нужно вводить поправку. Если это не делается, то погрешность измерения будет содержать систематическую составляющую, равную сумме θi. Так, для получения правильных показаний барометрического высотомера необходимо вводить непрерывно значения Т0 и Р0 на уровне земли. Если же Т0 и P0 вводятся однажды при вылете самолета, то возникает система­тическая погрешность, причем тем большая, чем больше время полета.

3. Преобразователь точно реализует заданную зависимость, но потребляет на себя некоторую мощность и тем искажает параметры измерительной цепи. Методическая погрешность при этом выражается в общем виде аналогично (2.181), но под х11, х21, ..., xn1 здесь следует понимать не вводимые извне параметры, определяющие х, а непосредственно искаженные преобразователем параметры измерительной цепи.

Если прибор состоит из ряда преобразователей, как это пока­зано на рис. 2.38, то каждый последующий преобразователь является нагрузкой для предыдущего и будет искажать его выходной сигнал.

Рис. 2.38. Изменение параметров при соединении преобразователей.

Так, если выходные параметры преобразователя 1 (на рис. 2.38) —R1, C1 и Ul, то при подключении к нему преобразователя 2 с входными параметрами R2, C2 выходными параметрами преобразователя 1 следует считать

Это приводит к искажению U1 как по амплитуде, так и по фазе. В каждом конкретном случае погрешность, вызванную несогласованностью выходной цепи одного преобразователя с входной цепью следующего, можно достаточно просто подсчитать. Однако ее величина обычно не остается постоянной, так как R1, R2, C1, C2 меняются в зависимости от положения движков потенциометров, от изменения режима транзисторов, и т. д. Поэтому вводить поправку затруднительно. При проектировании приборов предусматриваются обычно согла­сующие преобразователи (катодные и эмиттерные повторители, схемы отработки, согласующие трансформаторы), исключающие или снижающие до ничтожно малой величины рассматривае­мую методическую погрешность.

Неисключенная часть методической погрешности, как неисключенная часть систематической погрешности, принимается случайной величиной, распределенной по закону равномерной плотности.


2179491169653852.html
2179619642986816.html
    PR.RU™